求证明!
答案:1 悬赏:60 手机版
解决时间 2021-03-26 17:24
- 提问者网友:富士山上尢
- 2021-03-25 21:58
求证明!
最佳答案
- 五星知识达人网友:野味小生
- 2021-03-25 22:11
先证明Ker(C)+Ker(D)是直和。
设Cx=0,Dx=0,则x=Ex=(AC+BD)x=0,故结论成立。
注意到Ker(C),Ker(D)都是Ker(CD)=Ker(DC)的子空间,因此有
Ker(C)+Ker(D)是Ker(CD)的子空间,即有
dim(Ker(C))+dim(Ker(D))<=dim(Ker(CD)),此即
n-r(C)+n-r(D)<=n-r(CD)。
由此有r(CD)<=r(C)+r(D)-n。
再注意到一个一般性的不等式:
r(CD)>=r(C)+r(D)-n(这个不等式在线代书上都有),
综上有r(CD)=r(C)+r(D)-n。
对题目的结论,只需将条件等式转置一下即可。
设Cx=0,Dx=0,则x=Ex=(AC+BD)x=0,故结论成立。
注意到Ker(C),Ker(D)都是Ker(CD)=Ker(DC)的子空间,因此有
Ker(C)+Ker(D)是Ker(CD)的子空间,即有
dim(Ker(C))+dim(Ker(D))<=dim(Ker(CD)),此即
n-r(C)+n-r(D)<=n-r(CD)。
由此有r(CD)<=r(C)+r(D)-n。
再注意到一个一般性的不等式:
r(CD)>=r(C)+r(D)-n(这个不等式在线代书上都有),
综上有r(CD)=r(C)+r(D)-n。
对题目的结论,只需将条件等式转置一下即可。
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