∫(0,x)f(t)dt-∫(-x,0)f(t)dt是周期函数的证明
f(x)是在R上以T为周期的连续函数,证明∫(0,x)f(t)dt-∫(-x,0)f(t)dt也是以T为周期的函数
∫(0,x)f(t)dt-∫(-x,0)f(t)dt是周期函数的证明
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解决时间 2021-03-11 02:18
- 提问者网友:謫仙
- 2021-03-10 06:51
最佳答案
- 五星知识达人网友:不甚了了
- 2021-03-10 07:37
记F(x)=∫(0,x) f(t)dt-∫(-x,0) f(t)dt,则
F(x+T)=∫(0,x+T) f(t)dt-∫(-(x+T),0) f(t)dt
=∫(0,x+T) f(t)dt-∫(-x-T,0) f(t)dt
=∫(0,x) f(t)dt+∫(x,x+T) f(t)dt-∫(-x-T,-x) f(t)dt-∫(-x,0) f(t)dt
=F(x)+∫(x,x+T) f(t)dt-∫(-x-T,-x) f(t)dt,
其中∫(x,x+T) f(t)dt和∫(-x-T,-x) f(t)dt都是f(t)在长为周期T的区间上的积分,所以两者相等,所以
F(x+T)=F(x),
从而F(x)也是以T为周期的函数.
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