用红笔在一根木头上做了3次记号：第一次把木头分成了12等份，第二次把木头分成了15等份，第三次把木头分成了20等份。沿着这些红记号把木头锯开，一共锯成多少小段？

用红笔在一根木头上做了3次记号：第一次把木头分成了12等份，第二次把木头分成了15等份，第三次把木头分成了20等份。沿着这些红记号把木头锯开，一共锯成多少小段？

解答，这个问题的实质是看看1/12，2/12，3/12……11/12
    与   1/15，2/15，3/15……14/15
    与   1/20，2/20，3/20……19/20
这三组数中有几个相同的值，那么也就是画的红线重叠的个数。
第一次平分12等份，即画了11条红线
第二次平分15等份，按说应该画14条红线，但是由于5/15与4/12，8/12与10/15值相同，即2条红线重合，所以实际上只添加了14-2==12条红线；
第三次平分20等份，同理4/20与3/15，5/20与3/12，8/20与6/15，10/20与6/12，12/20与9/15，15/20与9/12，16/20与12/15值相同，即7条线重合，实际添加了19-7==12条线；
由上可得，这根木头上的红线总数是11+12+12==35条线。那么这根木头会被锯成36小段。

给你详解一下

    第一次把木头分成了12等份，，设木头的长度为1，则每份长度分别为1/12，此时红记号可以表示成1/12，2/12=1/6,3/12=1/4，……12/12=1

第二次把木头分成了15等份，则每份长度为1/15，此时红记号表示为1/15,2/15，……15/15

第三次同理，分别为1/20，2/20……20/20

  这道题现在变成求以上一共有多少个分数的问题了（相同只算一次）12和15的公约数有1、3，及第一次跟第二次重复的分数有1/3，1；15、20的公约数有1、5，第二和第三次重复的值有1/5,1；12、20公约数有1、2、4，即第一次跟第三次重复的数值有1，1/2,1/4

    综上所述，一共不同的分数值有12+15+20-2-2-3=40个，即可以锯成40段

12+15+20-4=43

此题其实属于容斥问题

    12与15的公约数有：3        ……即12等份与15等份中有3份是重复的

    12与20的公约数有：2*2    ……即12等份与20等份中有2*2份是重复的

    15与20的公约数有：5    ……即15等份与20等份中有5份是重复的

    所以：12+15+20-3-2*2-5 = 35段    ……一共锯成的段数

12与15的公约数有：3        ……即12等份与15等份中有3份是重复的

    12与20的公约数有：2*2    ……即12等份与20等份中有2*2份是重复的

    15与20的公约数有：5    ……即15等份与20等份中有5份是重复的

    所以：12+15+20-3-2*2-5 = 35段    ……一共锯成的段数