什么是无穷小等价替换

什么是无穷小等价替换

问题一：什么时候求极限可以用等价无穷小替换，是不是只有以下三种情况？另外第三种情况是什么意思？谢啦！ 10分楼主求采纳~当为乘积时可用等价无穷小代换求极限
但是当加减时就需要先计算
举个例子
（sinx-tanx）/x^3 x趋近于0的极限
sinx=x+o1（x） tanx=o2（x）
sinx-tanx=o1（x）-o2（x）=o（x）
[o1（x）o2（x）o（x）都是x高阶无穷小]
因为二者相减把已知的部分都抵消掉了 剩下的部分是o（x）是一个未知阶数的无穷小（只知道它比x高阶） 可能是x^2的等价无穷小 这是极限为∞ 也可能是x^3的等价无穷小 这时极限为常数 如果是x^4的等价无穷小 那么极限就是0了
所以当加减变换把已知部分抵消掉的时候不能用等价无穷小代换
否则就可以
比如说sinx+tanx=2x+o（x） 就是0了
还有比较特殊的情况 比如说sinx-tanx/x x趋近于0的极限
这时等价无穷小代换可得o（x）/x 因为o（x）是x的高阶无穷小 所以极限为零
总的来说就是不能肯定的时候 代换时加上高阶无穷小余项问题二：等价无穷小代换公式什么情况下可以用 利用泰勒公式在任何情况下通用 并不是说等价无穷小只适用于乘除法而不适用加减法问题三：等价无穷小替换原则是什么? 像这种差函数的等价无穷小，不是不能等价无穷小代替，而是有个精度的问题，有时候两个函数的一阶泰勒展开相同的话，相减会消掉一阶的主部，造成只有0的结果，相加相乘是可以替换的
比如你直接带入那就是sinx~x，tanx~x，然后相减就是0了，但是这样是不对的
如果你不清楚泰勒公式，那这种题就直接用洛必达法则，但是洛必达法则非常麻烦，
你如果直接记住泰勒公式就好做了
sin x = x-x^3/3!+O(x^3)
tanx=x+(1/3)x^3+O(x^3)
你把这两个函数用泰勒公式二阶展开发现二阶主部不同，
那么就用二阶来作等价无穷小代替
sinx-tanx=-x3/2+O(x^3)
当x趋近于0时sinx~x，所以xsinx=x2
所以原式可以换成-x3/2+O(x3)/x2=-x/2+O(x³)/x2=0
这里你是不是给错了...如果下面是x2sinx那结果就是-1/2
求极限时如果是边代入边算的时候那就是代入的时候能够求出具体值的就可以直接代入，然后继续洛必达法则