问大家一个高一数学问题！一定要用高中数学解法解哦！

讨论f(x)＝ax^2÷(x^2－1)在（－1，1）上的单调性！要有解题步骤哦

1:

当 a=0的时候 f(x) = 0  在(-1,1)上无单调性

2

当 a ≠ 0 的时候

f(x) = a((X^2-1+1)/(X^2-1)) = a(1+1/(X^2-1))

(1)当  a>0时:

  f(x)的单调性和1/(X^2-1)一致  即: x(-1,0]上单调递增 在[0,1)单调递减

(2)当  a<0时:

  f(x)的单调性和(X^2-1)一致  即: x(-1,0]上单调递减 在[0,1)单调递增

可用复合函数求单调性的方法来解。t=x^2,h(t)=at/(t-1)=a+a/(t-1)当a>0时，h(t)为减函数，根据同增异减的原理，可得当x€(-1,0]时，f(x)增，当x€(0,1)f(x)减；若a<0，h(t)增，f(x)单调区间与上面正好相反；若a=0,f(x)=0,为常值函数，不具有单调性

-1<x1<x2<1

f(x1)-f(x2)=ax1^2/(x1^2-1)-ax2^2/(x2^2-1)

=a(x1^2*x2^2-x1^2-x1^2*x2^2+x2^2)/(x1^2-1)(x2^2-1)

=a(x2-x1)(x2+x1)/(x1^2-1)(x2^2-1)

(x2-x1)/(x1^2-1)(x2^2-1)>0

a=0 f（x）恒等一个常数

a>0  x2>x1>0 f(x1)-f(x2)>0  f(x)减函数

    x1<x2<0 f(x1)-f(x2)<0  f(x)增函数

a<0  x2>x1>0 f(x1)-f(x2)<0  f(x)增函数

    x1<x2<0 f(x1)-f(x2)》0  f(x)减函数