lim（x趋近于0）[ln(1-x)ln(1+x)-ln(1-x^2)]/x^4=？
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解决时间 2021-02-16 13:33
- 提问者网友：欺烟
- 2021-02-15 21:18
lim（x趋近于0）[ln(1-x)ln(1+x)-ln(1-x^2)]/x^4=？
最佳答案
- 五星知识达人网友：话散在刀尖上
- 2021-02-15 21:48
解法1，利用洛比塔法则。
lim（x趋近于0）[ln(1-x)ln(1+x)-ln(1-x^2)]/x^4
=lim（x趋近于0）[ln(1-x)/(1+x)-ln(1+x)/(1-x)+2x/(1-x^2)]/4x^3（分子分母分别求导）
=lim（x趋近于0）[(1-x)ln(1-x)-(1+x)ln(1+x)+2x]/4x^3(1-x^2)（化简）
=lim（x趋近于0）[(1-x)ln(1-x)-(1+x)ln(1+x)+2x]/4x^3（利用极限的乘积公式，再步化简）
=lim（x趋近于0）[-ln(1-x)-ln(1+x)]/12x^2（分子分母再分别求导）
=lim（x趋近于0）[1/(1-x)-1/(1+x)]/24x（分子分母再分别求导）
=lim（x趋近于0）(2x)]/24x(1-x^2)（化简）
=1/12
解法2.利用对数函数的泰勒公式。因为
ln(1-x)=-x-(x^2)/2-(x^3)/3+o(x^3)
ln(1+x)=x-(x^2)/2+(x^3)/3+o(x^3)
ln(1-x^2)=-x^2-(x^4)/2+o(x^4)
于是
ln(1+x)ln(1-x)-ln(1-x^2)
=[x-(x^2)/2+(x^3)/3+o(x^3)]*[-x-(x^2)/2-(x^3)/3+o(x^3)]-[-x^2-(x^4)/2+o(x^4)]
=-x^2-(5x^4)/12+o(x^4)+[x^2+(x^4)/2+o(x^4)]
=[(1/2)-(5/12)]x^4+o(x^4)=(1/12)x^4+o(x^4)
所以
lim（x趋近于0）[ln(1-x)ln(1+x)-ln(1-x^2)]/x^4=1/12
lim（x趋近于0）[ln(1-x)ln(1+x)-ln(1-x^2)]/x^4
=lim（x趋近于0）[ln(1-x)/(1+x)-ln(1+x)/(1-x)+2x/(1-x^2)]/4x^3（分子分母分别求导）
=lim（x趋近于0）[(1-x)ln(1-x)-(1+x)ln(1+x)+2x]/4x^3(1-x^2)（化简）
=lim（x趋近于0）[(1-x)ln(1-x)-(1+x)ln(1+x)+2x]/4x^3（利用极限的乘积公式，再步化简）
=lim（x趋近于0）[-ln(1-x)-ln(1+x)]/12x^2（分子分母再分别求导）
=lim（x趋近于0）[1/(1-x)-1/(1+x)]/24x（分子分母再分别求导）
=lim（x趋近于0）(2x)]/24x(1-x^2)（化简）
=1/12
解法2.利用对数函数的泰勒公式。因为
ln(1-x)=-x-(x^2)/2-(x^3)/3+o(x^3)
ln(1+x)=x-(x^2)/2+(x^3)/3+o(x^3)
ln(1-x^2)=-x^2-(x^4)/2+o(x^4)
于是
ln(1+x)ln(1-x)-ln(1-x^2)
=[x-(x^2)/2+(x^3)/3+o(x^3)]*[-x-(x^2)/2-(x^3)/3+o(x^3)]-[-x^2-(x^4)/2+o(x^4)]
=-x^2-(5x^4)/12+o(x^4)+[x^2+(x^4)/2+o(x^4)]
=[(1/2)-(5/12)]x^4+o(x^4)=(1/12)x^4+o(x^4)
所以
lim（x趋近于0）[ln(1-x)ln(1+x)-ln(1-x^2)]/x^4=1/12
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- 1楼网友：独钓一江月
- 2021-02-15 22:22
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