二次函数竞赛题（初中）

二次函数竞赛题（初中）
书我都做完了 但还觉得不够精！

1.试求实数a,b使得函数y1=x²+ax+b及y2=x²+bx+a与vx轴的四个交点中相邻两点的距离相等.
a=0 b=-4
a=-4 b=0
y1=x²+ax+b及y2=x²+bx+a (a≠b)
y1=x²+ax+b与x轴的交点 0=x²+ax+b
x=-a+(a²-4b)^(1/2) (1)
x=-a-(a²-4b)^(1/2) (2)
y2=x²+bx+a与x轴的交点 0=x²+bx+a
x=-b+(b²-4a)^(1/2) (3)
x=-b-(b²-4a)^(1/2) (4)
与x轴的四个交点中相邻两点的距离相等
(1)=((3)+(4))/2=-b -a+(a²-4b)^(1/2)=-b b=2a-4 (5)
(4)=((1)+(2))/2=-a -b-(b²-4a)^(1/2)=-a a=2b-4 (6)
(1)-(2)=(3)-(4) 2(a²-4b)^(1/2)=2(b²-4a)^(1/2)
解得 a-b=0 (不合题意,舍去) a+b=-4 (7)
(5),(7)联立求解 a=0 b=-4
(6),(7)联立求解 a=-4 b=0
当a=0 b=-4 或者a=-4 b=0时,函数y1=x²+ax+b及y2=x²+bx+a与x轴的四个交点中相邻两点的距离相等.
2.已知y=x²-│x┃-12的图象与x轴交于相异两点A,B另一抛物线y=ax²+bx+c过A,B,顶点为P,且△APB是等腰直角三角形,求a,b,c
显然A,B坐标为(-4,0),(4,0).
y=ax²+bx+c过A,B,所以b=0,c/a=-16,P点坐标为:(0,-16a)
由于APB是等腰直角三角形,所以AB^2=AP^2+BP^2,
求出a=±1/4.
所以a=1/4,b=0,c=-4或者a=-1/4,b=0,c=4.
3.设P是实数,二次函数y=x^2-2Px-P的图像与x轴有两个不同的交点A(x1,0),
B(x2,0)
(1)求证：2Px1+x2^2+3P＞0
(2)若A,B两点间的距离不超过/2p+3/,求P的最大值
判别式=4p^2+4p>0
2px1=(x1)^2-p
2px1+(x2)^2+3p=(x1)^2+(x2)^2+2p=(x1+x2)^2-2x1x2+2p=4p^2+2p+2p=4p^2+4p>0
若A,B两点之间的距离不超过丨2p-3丨
|x1-x2|