在△ABC中,AB=2根号5,AC=4,BC=2,以AB为边向△ABC外作△ABD,使△ABD为等腰直角三角形,求线段C

在△ABC中,AB=2根号5,AC=4,BC=2,以AB为边向△ABC外作△ABD,使△ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长,

在△ABC中,AB=2根号5,AC=4,BC=2,以AB为边向△ABC外作△ABD,使△ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长,
因为 △ABD为等腰直角三角形
所以AD^2+BD^2=AB^2 AD=BD 2*AD^2=AB^2
AD^2=(2√5)2/2=10
AD=√10
由余弘定理得 csc∠CAB=(AC2+AB2-BC2)/2*AC*AB
=(4*4+2√5*2√5-2*2)/2*4*2√5
=2/√5
sin∠CAB=√(1-(csc∠CAB)^2 )=√(1-(2/√5) )^2=√5/5
csc∠CAD=csc(∠CAB+45)
=csc∠CAB*csc∠45-sin∠CAB*sin∠45
=2/√5*√2/2-√5/5*√2/2=√10/10
CD^2=AC^2+AD^2-2*AC*AD*csc∠CAD
=4^2+√10^2-2*4*√10*√10/10
=16+10-8
=18
CD=√18=3√2
再问： 能不用余弦定理吗？
再答： 也可用解析几何求解 设直角坐标糸使AB在X轴上, 原点O在AB中点, 则有各点坐标A(-√5,0); B(√5,0); D(0,- √5) 设C点坐标为C(X,Y) 由两点间距离公式得 (X+√5)^2+Y^2=4^2 (X-√5)^2+Y^2=2^2 解方程组得 X=(3/5) √5 Y=(4/5) √5 由两点间距离公式得 CD=3√2