写出f(x)=ax^2+bx+c(a大于0)的单调区间,并证明f(x)在每个单调区间上的单调性

写出f(x)=ax^2+bx+c(a大于0)的单调区间,并证明f(x)在每个单调区间上的单调性

因为a>0,f(x)是二次函数，其图像为开口向上的抛物线，由于f（x）的对称轴为-b/2a,所以在区间（-∞,-b/2a)单调递减，在区间(-b/2a, +∞)单调递增。
证明方法1：求导：f ’ (x) = 2ax +b，令f ' (x) = 0解得x = -b/2a。
当x < -b / 2a时，f ' (x) < 0,f(x)单调递减，
当x > -b/2a时，f ' (x) >0,f(x) 单调递增
即证
证明方法2：设x1和x2是f(x)定义域内的任意实数，并且x'< x''，f(x'') - f(x') = （ax''^2 + bx'' + c）- (ax' +bx' + c) = a(x''^2 -x'^2) + b(x'' - x') = a(x'' + x')(x'' - x') - b(x'' - x) = (x'' - x') [a(x'' + x') +b)]
所以要想判断f(x) 的单调区间就是判断 f(x'') - f(x')的值是正还是负
因为x'' > x' ，所以x'' -x' >0；x'' +x' < 2x'' ,当x'' < -b/2a时，[a(x'' + x') +b)] <0,f(x'') - f(x') <0,f ' (x) < 0,f(x)单调递减，当x'' > -b/2a时，[a(x'' + x') +b)] >0,f(x'') - f(x') >0,f ' (x) > 0,f(x)单调递增

首先，标准二次函数对称轴x=-b/2a 函数关于对称轴对称 又a<0，开口向下，所以对称轴左边单调递增，右边单调递减 (－∞，-b/2a]单调递增 [-b/2a,+∞)单调递减