某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为

某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为 2 3 ．（1）求比赛三局甲获胜的概率；（2）求甲获胜的概率；（3）设甲比赛的次数为X，求X的数学期望．

记甲n局获胜的概率为 P n ，n=3，4，5，
（1）比赛三局甲获胜的概率是：P 3 =
C 33 (
2
3 ) 3 =
8
27 ；
（2）比赛四局甲获胜的概率是：P 4 =
C 23 (
2
3 ) 3  (
1
3 ) =
8
27 ；
比赛五局甲获胜的概率是：P 5 =
C 24 (
1
3 ) 2 (
2
3 ) 3 =
16
81 ；
甲获胜的概率是：P 3 +P 4 +P 5 =
64
81 ．
（3）记乙n局获胜的概率为 P n ′，n=3，4，5．
P 3 ′=
C 33 (
1
3 ) 3 =
1
27 ，P 4 ′=
C 23 (
1
3 ) 3  (
2
3 ) =
2
27 ； P 5 ′=
C 24 (
1
3 ) 3 (
2
3 ) 2 =
8
81 ；
故甲比赛次数的分布列为：

X 3 4 5
P（X） P 3 +P 3 ′ P 4 +P 4 ′ P 5 +P 5 ′ 所以甲比赛次数的数学期望是：EX=3（
1
27 +
8
27 ）+4（
8
27 +
2
27 ）+5（
16
81 +
8
81  ）=
107
27 ．

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