n为大于1的整数,证明;n的9次方-n的3次方可被504整除

n为大于1的整数,证明;n的9次方-n的3次方可被504整除

n^9- n^3=n^3(n^6- 1)=n^3(n^3-1)(n^3+1)……（1）式

1、 当n是偶数时，n^3 能被8整除，(1)式能被8整除。
当n是奇数时，(n^3-1) 和 (n^3+1) 是两个相邻的偶数，其中一个必能被4整除，即(n^3-1) (n^3+1) 能被8整除，(1)式能被8整除。
因此对于任意整数n，(1)式均能被8整除。

2、 当n能被7整除时，n^3 能被7整除，(1)式能被7整除。

设n=7k+1时, n^3-1=(7k+1)^3-1=(7k)^3+3×(7k)^2+3×(7k)+1-1＝(7k)^3+3×(7k)^2+3×(7k)能被7整除。
设n=7k+2时, n^3-1=(7k+2)^3-1=(7k)^3+3×(7k)^2×2+3×(7k)×4+8-1＝(7k)^3+6×(7k)^2+12×(7k)+7能被7整除。
设n=7k+4时, n^3-1=(7k+4)^3-1=(7k)^3+3×(7k)^4×2+3×(7k)×16+64-1＝(7k)^3+12×(7k)^2+48×(7k)+63能被7整除。
当n除以7余1，2，4时， n^3-1能被7整除，(1)式能被7整除。

设n=7k+3时, n^3+1=(7k+3)^3-1=(7k)^3+3×(7k)^2×3+3×(7k)×9+27+1＝(7k)^3+9×(7k)^2+27×(7k)+28能被7整除。
设n=7k+5时, n^3+1=(7k+5)^3-1=(7k)^3+3×(7k)^2×5+3×(7k)×25+125+1＝(7k)^3+15×(7k)^2+75×(7k)+126能被7整除。
设n=7k+6时, n^3+1=(7k+6)^3-1=(7k)^3+3×(7k)^2×6+3×(7k)×36+216+1＝(7k)^3+18×(7k)^2+108×(7k)+217能被7整除。
当n除以7余3，5，6时， n^3+1能被7整除，(1)式能被7整除。

因此对于任意整数n，(1)式均能被7整除。

3、 以此类推，
当n除以9余0，3，6时， n^3能被9整除，(1)式能被9整除。
当n除以9余1，4，7时， n^3-1能被9整除，(1)式能被9整除。
当n除以9余2，5，8时， n^3+1能被9整除，(1)式能被9整除。

因此对于任意整数n，(1)式均能被9整除。

4、 因此对于任意整数n，(1)式均能被7、8、9整除。
因为7，8，9没有公约数，7×8×9＝504
所以n^9- n^3可被504整除

n^5-5n^3+4n可以分解为（n-2)*(n-1)*n*(n+1)*(n+2) 当n大于2时，上式即为5个连续整数的乘积，而120可分解为2*3*4*5 每两个数中必然有一个可以被2整除，每三个数中必有一个可以被3整除，每四个数中必有一个可以被4整除，每五个数中必有一个可以被5整除，所以。五个连续整数相乘必然可以整除2*3*4*5.得证