对于数列An：a1，a2，…，an（ai∈N，i=1，2，…，n），定义“T变换”：T将数列An变换成数列Bn：b1，b2，…，bn，其中bi=|ai-ai+1|（i

对于数列An：a1，a2，…，an（ai∈N，i=1，2，…，n），定义“T变换”：T将数列An变换成数列Bn：b1，b2，…，bn，其中bi=|ai-ai+1|（i=1，2，…，n-1），且bn=|an-a1|，这种“T变换”记作Bn=T（An）．继续对数列Bn进行“T变换”，得到数列Cn，…，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．
（Ⅰ）试问A3：4，2，8和A4：1，4，2，9经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；
（Ⅱ）求A3：a1，a2，a3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件；
（Ⅲ）证明：A4：a1，a2，a3，a4一定能经过有限次“T变换”后结束．

（Ⅰ）解：数列A3：4，2，8不能结束，各数列依次为2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形．?…（2分）
数列A4：1，4，2，9能结束，各数列依次为3，2，7，8；1，5，1，5；4，4，4，4；0，0，0，0．…（3分）
（Ⅱ）解：A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1=a2=a3．…（4分）
若a1=a2=a3，则经过一次“T变换”就得到数列0，0，0，从而结束．?…（5分）
当数列A3经过有限次“T变换”后能够结束时，先证命题“若数列T（A3）为常数列，则A3为常数列”．
当a1≥a2≥a3时，数列T（A3）：a1-a2，a2-a3，a1-a3．
由数列T（A3）为常数列得a1-a2=a2-a3=a1-a3，解得a1=a2=a3，从而数列A3也为常数列．
其它情形同理，得证．
在数列A3经过有限次“T变换”后结束时，得到数列0，0，0（常数列），由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列A3也为常数列．?…（8分）
所以，数列A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1=a2=a3．
（Ⅲ）证明：先证明引理：“数列T（An）的最大项一定不大于数列An的最大项，其中n≥3”．
证明：记数列An中最大项为max（An），则0≤ai≤max（An）．
令Bn=T（An），bi=ap-aq，其中ap≥aq．
因为aq≥0，所以bi≤ap≤max（An），
故max（Bn）≤max（An），证毕．???????…（9分）
现将数列A4分为两类．
第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，max（B4）≤max（A4）-1．
第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时max（B4）=max（A4）．
下面证明第二类数列A4经过有限次“T变换”，一定可以得到第一类数列．
不妨令数列A4的第一项为0，第二项a最大（a＞0）．（其它情形同理）
①当数列A4中只有一项为0时，
若A4：0，a，b，c（a＞b，a＞c，bc≠0），则T（A4）：a，a-b，|b-c|，c，此数列各项均不为0
或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；
若A4：0，a，a，b（a＞b，b≠0），则T（A4）：a，0，a-b，b；T（T（A4））：a，a-b，|a-2b|，a-b
此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；
若A4：0，a，b，a（a＞b，b≠0），则T（A4）：a，a-b，a-b，b，此数列各项均不为0，为第一类数列；
若A4：0，a，a，a，则T（A4）：a，0，0，a；T（T（A4））：a，0，a，0；T（T（T（A4）））：a，a，a，a，
此数列各项均不为0，为第一类数列．
②当数列A4中有两项为0时，若A4：0，a，0，b（a≥b＞0），则T（A4）：a，a，b，b，此数列各项均不为0，为第一类数列；
若A4：0，a，b，0（a≥b＞0），则T（A）：a，a-b，b，0，T（T（A））：b，|a-2b|，b，a，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列．
③当数列A4中有三项为0时，只能是A4：0，a，0，0，则T（A）：a，a，0，0，T（T（A））：0，a，0，a，T（T（T（A）））：a，a，a，a，此数列各项均不为0，为第一类数列．
总之，第二类数列A4至多经过3次“T变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历3次“T变换”，数列的最大项又开始减少．
又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“T变换”后，数列的最大项一定会为0，此时数列的各项均为0，从而结束．…（13分）解析分析：（Ⅰ）根据新定义，可得数列A3：4，2，8不能结束，数列A4：1，4，2，9能结束，并可写出各数列；（Ⅱ）A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1=a2=a3，先证明a1=a2=a3，则经过一次“T变换”就得到数列0，0，0，从而结束，再证明命题“若数列T（A3）为常数列，则A3为常数列”，即可得解；（Ⅲ）先证明引理：“数列T（An）的最大项一定不大于数列An的最大项，其中n≥3”，再分类讨论：第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，max（B4）≤max（A4）-1．第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时max（B4）=max（A4）．证明第二类数列A4经过有限次“T变换”，一定可以得到第一类数列．点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，难度较大．

这个答案应该是对的