二项式的组合数目

二项式的组合数目

1、Cn0+Cn1+Cn2…+Cnk+…+Cnn=2^n
2、Cno-Cn1+Cn2-Cn3+……(-1)^nCnn=0
3、Cn0+Cn2+Cn4+……=Cn1+Cn3+Cn5+……=2^(n-1)
证明：由(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)b^n
当a=b=1时，代入二项式定理可证明1
但a=-1，b=1时代入二项式定理可证明2
4.组合数的性质：
（1）
（2）
（3） ①对称性：
②增减性和最大值：先增后减
n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，为：Tn/2+1
n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，为：T(n+1)/2，T[(n+1)/2+1] 掌握“赋值法”这种利用恒等式解决问题的思想.
证明：n个（a+b）相乘，是从（a+b）中取一个字母a或b的积。所以（a+b）^n的展开式中每一项都是)a^k*b^(n-k)的形式。对于每一个a^k*b^(n-k)，是由k个(a+b)选了a,（a的系数为n个中取k个的组合数（就是那个C右上角一个数，右下角一个数））。（n-k）个(a+b)选了b得到的（b的系数同理）。由此得到二项式定理。
二项式系数之和：2n
而且展开式中奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和等于2的(n-1)次方
二项式定理的推广：
二项式定理推广到指数为非自然数的情况：
形式为
注意：|x|<1
(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)b^n