求这个箱子的表面积

一个长方体的箱子，它的十二条棱长之和是140,并且从箱子的一角到最远的一角的距离是21，求它的总的表面积是多少？

解：

设 长方体的长，宽，高分别为a，b，c

∴4·(a+b+c)=140

a²+b²+c²=21²

∴2·(ab+bc+ca)=(a+b+c)²-(a²+b²+c²)=35²441=784

∴箱子总表面积为784

设长宽高分别是a,b,c

由十二条棱长之和是140得：4(a+b+c)=140

a+b+c=35

a=35-b-c

b=35-a-c

c=35-a-b

一角到最远的一角的距离是21得：a^2+b^2+c^2=21^2=441

(35-b-c)^2+(35-a-c)^2+(35-a-b)^2=441

由公式（a-b-c)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc 得

（35-b-c)^2+(35-a-c)^2+(35-a-b)^2=(1225+b^2+c^2-70b-70c+2bc)+(1225+a^2+c^2-70a-70c+2ac)+(1225+a^2+b^2-70a-70b+2ab)=441

3675+2(a^2+b^2+c^2)-140(a+b+c)+2(ab+bc+ac)=441

3675+2x441-140x35+2(ab+bc+ac)=441

2(ab+bc+ac)=784

表面积S=2(ab+bc+ac)=784

由以知条件可得

设长方体的长为a ，宽为b ，高为c

a*a+b*b+c*c=21*21

4*(a+b+c)=140推出 (a+b+c)=35

而要求的表面积为 2*(ab+ac+bc)=

(a+b+c)平方-2(ab+bc+ac)=a*a+b*b+c*c=21*21

由上可以求得长方体的表面积2（ab+bc+ac）=784

设长方体的高为ｈ，底长为ａ,宽为ｂ

则4(a+b+h)=140

a+b+h=35

从箱子的一角到最远的一角的距离是21=√(a^2+b^2+h^2)=21

a^2+b^2+h^2=441

表面积＝2(ab+bh+ah)

=(a+b+h)^2-(a^2+b^2+h^2)

=35^2-441

=1225-441

=781