已知函数f(x)=2-cos^2x-2asinx,x∈R (1)求函数的最小值g(a)若f（x）的图

已知函数f(x)=2-cos^2x-2asinx,x∈R (1)求函数的最小值g(a)若f（x）的图

首先先对函数做一下处理f(x)=2-cos²2x-2asinx=2-(1-2sin²x)-2asinx =2sin²x-2asinx+1令sinx=t ,t∈[-1.1]则原问题转化为对函数h(t)=2t²-2at+1=2(t-0.5a)²+1-0.5a²的讨论.(1)①当0.5a≥1即a≥2时.此时函数在[-1.1]上为减函数.所以此时g(a)=h(1)=-2a+3②当0.5a≤-1即a≤-2时.此时函数在[-1.1]上为增函数此时g(a)=h(-1)=2a+3③当-2＜a＜2时,此时g(a)=-0.5a²+1综上所述,g(a)是一个分段函数,具体关系如下当a≤-2时 g(a)=2a+3当-2＜a＜2时 g(a)=-0.5a²+1当a≥2时 g(a)=-2a+3(2)由题意h(t)=2t²-2at+1＞0在[-1.1]上恒成立由(1)可知只需g(a)＞0成立即可当a≤-2时 g(a)=2a+3＞0得a＞-3/2＞-2不合题意,舍去当-2＜a＜2时 g(a)=-0.5a²+1＞0得-根号2＜a＜根号2故此时a∈(-根号2,根号2)当a≥2时,g(a)≤g(2)=-1＜0因此也不合题意综上,所求a的取值范围是(-根号2,根号2)

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