在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路

在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路

(1)|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞) (2)在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小.

【解题指南】本题考查了绝对值函数和绝对值不等式的应用. 解：设点P的坐标为(x,y), (1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞). (2)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值. ①当y≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|, 因为d 1 (x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|.　(*) 当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立, 又因为|x+10|+|x-14|≥24.　(**) 当且仅当x∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立. 所以d 1 (x)≥24,当且仅当x=3时,等号成立, 因为d 2 (y)=2y+|y-20|≥21,当且仅当y=1时,等号成立.故点P的坐标为(3,1)时,P到三个居民区的“L路径”长度之和最小,且最小值为45. ②当0≤y≤1时,由于“L路径”不能进入保护区,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|. 此时,d 1 (x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|, d 2 (y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21. 由①知,d 1 (x)≥24,故d 1 (x)+d 2 (y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立. 综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小.