利用单调性定义证明函数f(x)＝x+4x在[1，2]上的单调性并求其最值

利用单调性定义证明函数f(x)＝x+4x在[1，2]上的单调性并求其最值．

设1≤x1＜x2≤2，
则f(x1)?f(x2)＝x1+
4
x1 ?x2?
4
x2 ＝x1?x2+
4(x2?x1)
x1x2


＝(x1?x2)(1?
4
x1x2 )＝(x1?x2)
x1x2?4
x1x2
∵

1≤x1＜x2≤2 ，∴

x1?x2＜0，x1x2?4＜0 ，x1x2＞0
∴f（x1）＞f（x2）
∴函数f(x)＝x+
4
x 在[1，2]上为减函数
∴当x=2时，f（x）取得最小值4，当x=1时，f（x）取得最大值5．

设x1,x2∈[1,2],且10,00,(1-4/x1x2)>0 ∴(x2-x1)(1-4/x1x2)>0 ∴-(x2-x1)(1-4/x1x2)<0 即f（x1）-f(x2)<0 ∴在〔1，2〕上的单调递减。