级数x^n/√n的收敛域
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解决时间 2021-03-18 10:55
- 提问者网友：记得曾经
- 2021-03-17 17:44
级数x^n/√n的收敛域
最佳答案
- 五星知识达人网友：封刀令
- 2021-03-17 18:52
对级数 ∑[√(n+1)-√n]x?，由于
|[√(n+2)-√(n+1)]/[√(n+1)-√n]|
= [√(n+1)+√n]/[√(n+2)+√(n+1)]
→ 1 (n→∞)，
得知该级数的收敛半径为 1，收敛区间为(-1,1)。而在 x=-1，级数为
∑[√(n+1)-√n](-1)? = ∑(-1)?/[√(n+1)+√n]，
是 Leibniz 型级数，是收敛的；在 x=1，级数为
∑[√(n+1)-√n] = ∑{1/[√(n+1)+√n]}，
是发散的（与调和级数比较）。
综上，该级数的收敛区域为 [-1,1)。
|[√(n+2)-√(n+1)]/[√(n+1)-√n]|
= [√(n+1)+√n]/[√(n+2)+√(n+1)]
→ 1 (n→∞)，
得知该级数的收敛半径为 1，收敛区间为(-1,1)。而在 x=-1，级数为
∑[√(n+1)-√n](-1)? = ∑(-1)?/[√(n+1)+√n]，
是 Leibniz 型级数，是收敛的；在 x=1，级数为
∑[√(n+1)-√n] = ∑{1/[√(n+1)+√n]}，
是发散的（与调和级数比较）。
综上，该级数的收敛区域为 [-1,1)。
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- 1楼网友：渡鹤影
- 2021-03-17 19:50
解：∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)1/(n+1)=0， ∴级数的收敛半径r=1/ρ=∞。
又，lim(n→∞)丨un+1/un丨=丨x丨/r<1。∴丨x丨
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