证明：若a1=根号2,an+1=根号（2an）,则数列an收敛,并求其极限,急急急急急急急！！！
答案:2 悬赏:70 手机版
解决时间 2021-02-22 10:00
- 提问者网友：嗝是迷路的屁
- 2021-02-22 05:31
关键是如何证明收敛呢？详细一点为好！
最佳答案
- 五星知识达人网友：几近狂妄
- 2021-02-22 06:16
那我就只说明收敛吧。证明：
a1<2.2a1<4.a2=根号（2a1）<2.由此通过数学归纳法得到an<2.即数列有界。
再由 a1<2.(2a1)>a1^2.a2>a1.由此通过数学归纳法得到an递增，即数列单调。则由单调有界原理，数列收敛。要求极限请追问。
a1<2.2a1<4.a2=根号（2a1）<2.由此通过数学归纳法得到an<2.即数列有界。
再由 a1<2.(2a1)>a1^2.a2>a1.由此通过数学归纳法得到an递增，即数列单调。则由单调有界原理，数列收敛。要求极限请追问。
全部回答
- 1楼网友：一秋
- 2021-02-22 07:34
解：假设存在一个n使得an>=2,则由an-1=an^2/2可知an-1>=2,这样一直向前推得到a1>=2,与a1=根号2矛盾！所以对于任意正整数n都有00，即数列an单调递增且有上界2，故数列an收敛且极限存在，设其极限为a则有a=根号2a即a^2=2a且a>0,得a=2.
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