一道高中数学竞赛题,难题在△ABC中,满足A=2B,C为钝角,三边a,b,c均为整数,求周长最小值.
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解决时间 2021-02-26 03:46
- 提问者网友：轻浮
- 2021-02-25 18:22
一道高中数学竞赛题,难题在△ABC中,满足A=2B,C为钝角,三边a,b,c均为整数,求周长最小值.
最佳答案
- 五星知识达人网友：舊物识亽
- 2021-02-25 18:30
这题非常麻烦由题意,cosC = -cos3B = 3cosB - 4cosBcosBcosB 解得cosB > √3/2 .1由a/b = sinA/sinB = 2cosB > 1,知b 设周长为S,S = b(1 + sinA/sinB + sinC/sinA) = b(1 + 2cosB + 3 - 4sinBsinB) = b(4cosBcosB + 2cosB),由1知S值域((3 + √3)b,6b)由b/a = 2cosB = 有理数,依次枚举b和S的值(S为整数),看4cosBcosB + 2cosB = S/b是否有有理根:b = 1,S = 5,没有有理根b = 2,S = 10,没有有理根b = 2,S = 11,没有有理根b = 3,S = 15 ..b = 3,S = 16,...(冗长的计算后)b = 16,S = 77,此时cosB = 28/32,求得b = 28,c = S - a - b = 33,a^2 + b^2 a = 28,b = 16,c = 33,周长取最小值77
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- 1楼网友：笑迎怀羞
- 2021-02-25 20:02
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