已知函数f（x）=-x3+x2，g（x）=alnx，a∈R．（1）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，

已知函数f（x）=-x3+x2，g（x）=alnx，a∈R．（1）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求a的取值范围；（2）设F（x）=f(x)，x＜1g(x)，x≥1，若P是曲线y=F（x）上异于原点O的任意一点，在曲线y=F（x）上总存在另一点Q，使得△POQ中的∠POQ为钝角，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围．

（1）由对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，得（x-lnx）a≤x2-2x，
由于x∈[1，e]，lnx≤1≤x，且等号不能同时取得，所以lnx＜x，x-lnx＞0．
从而a≤
x2?2x
x?lnx 恒成立，a≤（
x2?2x
x?lnx ）min
设t（x）=
x2?2x
x?lnx ，x∈[1，e]，
求导，得t′（x）=
(x?1)(x+2?lnx)
(x?lnx)2
x∈[1，e]，x-1≥0，lnx≤1，x+2-lnx＞0，
从而t′（x）≥0，t（x）在[1，e]上为增函数．
所以t（x）min=t（1）=-1，所以a≤-1．
（2）F（x）=







?x3+x2，x＜1
alnx，   x≥1 ，
设P（t，F（t））为曲线y=F（x）上的任意一点，
假设曲线y=F（x）上存在一点Q（-t，F（-t）），使∠POQ为钝角，
则




OP ?




OQ ＜0，
若t≤-1，P（t，-t3+t2），Q（-t，aln（-t）），





OP ?




OQ =-t2+aln（-t）（-t3+t2），
由于




OP ?




OQ ＜0恒成立，a（1-t）ln（-t）＜1．
当t=-1时，a（1-t）ln（-t）＜1恒成立．
当t＜-1时，a＜
1
(1?t)ln(?t) 恒成立．由于
1
(1?t)ln(?t) ＞0，所以a≤0．
若-1＜t＜1，t≠0，P（t，-t3+t2），Q（-t，t3+t2），
则




OP ?




OQ =-t2+（-t3+t2）（t3+t2）＜0，
t4-t2+1＞0对-1＜t＜1，t≠0恒成立
③当t≥1时，同①可得a≤0．
综上所述，a的取值范围是（-∞，0]．

搜一下：已知函数f（x）=-x3+x2，g（x）=alnx，a∈R．（1）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，