ln(1+a^3)/(x-arcsinx),x<0,f(x)=6,x=0,(e^ax+x^2-ax-1)/xsinx/4,x>0,a为何值f(x)在x=0连续

ln(1+a^3)/(x-arcsinx),x<0,f(x)=6,x=0,(e^ax+x^2-ax-1)/xsinx/4,x>0,a为何值f(x)在x=0连续

f(x)在x=0处连续

只要lim(x→0)f(x)=f(0)即可
∴lim(x→0+) (e^(ax)+x²-ax-1)/xsin(x/4)=6
lim(x→0-) ln(1+ax³)/(x-arcsinx)=6

①当x＞0时

sin(x/4)~x/4(等价无穷小)

分母xsin(x/4)可代换为x^2/4

分子e^(ax)由泰勒展开得：e^(ax)=1+ax+(a^2/2)x^2+o(x^2)
即x^2+(a^2/2)x^2+o(x^2)
分子分母同时÷x²

得：lim(x→0+) (e^(ax)+x²-ax-1)/xsin(x/4)=2a²+4
∴2a²+4=6

解得：a=1或a=-1

②当x＜0时

ln(1+ax^3)~ax^3
即lim ln(1+ax³)/(x-arcsinx)=lim ax³/(x-arcsinx)

由洛必达法则求极限，得：lim ax³/(x-arcsinx)=lim3ax²/[1- 1/√(1-x²)]

整理，得：lim [3ax² ×√(1-x²)]/[√(1-x²) -1]
分子分母同时×[√(1-x²) +1]

再同时÷x² ，得：lim ln(1+ax³)/(x-arcsinx)=-6a=6

∴a=-1