已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点 M( 3π 4 ，0)

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点 M(
3π
4 ，0) 对称，且在区间 [0，
π
2 ] 上是单调函数，则ω的值为（　　）
A．
1
3 或2 B．
1
3 或
3
2 C．
2
3 或
3
2 D．
2
3 或2

由f（x）是偶函数，得f（-x）=f（x），即sin（-ωx+?）=sin（ωx+?），
所以-cosφsinωx=cosφsinωx，
对任意x都成立，且ω＞0，所以得cosφ=0．
依题设0＜φ＜π，所以解得φ=
π
2 ，
由f（x）的图象关于点M对称，得f（
3π
4 -x）=-f（
3π
4 +x），
取x=0，得f（
3π
4 ）=sin（
3ωπ
4 +
π
2 ）=cos
3ωπ
4 ，
∴f（
3π
4 ）=sin（
3ωπ
4 +
π
2 ）=cos
3ωπ
4 ，∴cos
3ωπ
4 =0，
又ω＞0，得
3ωπ
4 =
π
2 +kπ，k=1，2，3，
∴ω=
2
3 （2k+1），k=0，1，2，
当k=0时，ω=
2
3 ，f（x）=sin（x+
π
2 ）在[0，
π
2 ]上是减函数，满足题意；
当k=1时，ω=2，f（x）=sin（2x+
π
2 ）在[0，
π
2 ]上是减函数；
当k=2时，ω=
10
3 ，f（x）=（
10
3 x+
π
2 ）在[0，
π
2 ]上不是单调函数；
所以，综合得ω=
2
3 或2．
故选D．

f(x)=f(-x)=sin(2x φ)=sin(-2x φ) ∵-π<φ<0，由y=sinx的图像可知， 2x φ=180-(-2x φ) 得φ=90°