已知如图在△ABC中，D是AB边的中点，PD垂直AB交角ACB的平分线于点P，PM垂直AC于M，PN垂直BC交CB的延长线于N，求证CM=CN=1/2（AC+BC）

因为 角MCP=角NCP （角平分线）

又因为 角CMP=角CNP=90度 （垂线）

又因为CP=CP （公共边）

所以 三角形CMP 全等于 三角形CNP

所以 CM=CN

MP=NP

连接AP 和BP

在三角形ADP和三角形BDP中

因为AD=BD （中点）

角ADP=角BDP=90度

PD=PD

所以 三角形ADP 全等于 三角形BDP

AP=BP

在三角形AMP和三角形BNP中

因为AP=BP

PM=PN （前证）

角AMP=角BNP=90度

所以 三角形AMP 全等于 三角形BNP

AM=BN

所以CM+CN=CM+CB+BN=CM+CB+AM=AC+BC

因为CM=CN

所以 CM=CN=1/2（AC+BC）

连接ＡＰ、ＢＰ

由于ｃｐ是角平分线，ＰＭ、ＰＮ垂直两边，故ＰＭ＝ＰＮ，且ＣＭ＝ＣＮ

两直角三角形ＡＰＤ与ＢＰＤ全等，因ＰＤ公共相等，Ｄ是中点，ＡＤ＝ＢＤ

故ＡＰ＝ＢＰ

两直角三角形ＡＰＭ和ＢＰＭ有两边对应相等，故第三边也相等

故全等

ＡＭ＝ＢＮ

故ＣＭ＝ＣＮ＝（CM+CN)/2=(AC+AM+CB-BN)/2=(AC+BC)/2