f(A并B)=f(A)并f(B)证明

高数 f为映射 感激不尽

对于任意的y属于f(A∪B)，一定存在x属于A∪B，使得f(x)=y
因为x属于A或B，所以y=f(x)属于f(A)或f(B)，即y属于f(A)∪f(B)
故f(A∪B)包含于f(A)∪f(B)；
对于任意的y属于f(A)∪f(B)，y属于f(A)或f(B)，一定存在x属于A或x属于B，使得f(x)=y
也即一定存在x属于A∪B，使得f(x)=y，即有y=f(x)属于f(A∪B)
故f(A)∪f(B)包含于f(A∪B)；
综上，f(A)∪f(B)=f(A∪B)

建议把问题叙述完整: f: x → y是一个映射, a, b是x的子集, 证明f(a∩b) ⊆ f(a)∩f(b). 之所以只是包含而不是等于, 因为等号是不一定成立的. 例如x = [-1,1], y = [0,1], a = [-1,0], b = [0,1], 并取f(x) = |x|. 则f(a) = [0,1] = f(b), f(a)∩f(b) = [0,1], 但a∩b = {0}, f(a∩b) = {0}. 因此只成立f(a∩b) ⊆ f(a)∩f(b)而不成立f(a∩b) = f(a)∩f(b).