数学上的公理有哪些？

数学上的公理有哪些？

欧几里德的《几何原本》，一开始欧几里德就劈头盖脸地给出了23个定义，5个公设，5个公理。其实他说的公社就是我们后来所说的公理，他的公理是一些计算和证明用到的方法（如公理1：等于同一个量的量相等，公理5：整体大于局部等）他给出的5个公设倒是和几何学非常紧密的，也就是后来我们教科书中的公理。分别是：
公设1：任意一点到另外任意一点可以画直线
公设2：一条有限线段可以继续延长
公设3：以任意点为心及任意的距离可以画圆
公设4：凡直角都彼此相等
公设5：同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。

数学上的公理有很多，你所要问的可能指作为数学基础的东西。我不保证如果只有中学数学知识就可以看懂我写的东西，但我将大致讲讲思想，后面会给出一些知识的来源。 现代数学的大部分，其基础是数理逻辑和公理集合论。它们各自是由一组确定的公理描述的。 数理逻辑中描述了关于逻辑演算的基本规则。其中描述了如（用通俗的话说）“如果A、B两句话都对，那么A就对”等等的一组公理。 公理集合论通常指由著名的ZFC（Zemelo-Fraenkel公理加上选择公理[Axiom of Choice]）公理系统定义的集合论。其中描述了如（用通俗的话说）“两个集合的元素相同则集合相等”等等的一组公理。 用上面的公理系统，加上适当的定义和推理，就可以推演出现代数学的大部分内容。 从某种角度上看，所有数学定义都是公理，因为定义就是规定了研究对象的一些性质——而定义甚至不能指出研究对象是存在的。 一个习见的例子是欧几里得几何，也就是中学课本中的几何。可以说它是一组公理推演出来的，但也可以说是一组几何公理定义了什么是几何，定义了什么是点、线、面等几何对象。当然，中学课本用的公理系统并不完善，出于教学的需求，它增加了一些多余的公理（如关于三角形全等的公理，本来只是定理），但省略了一些中学阶段不易理解的公理（如连续性公理，要求了解实数构造）。 再举一个常有人问的例子：自然数是什么？ 其实数学上严格定义自然数就是用一组公理来定义的，也就是Peano公理。它的严格表述较繁，你可以参看百度百科（那个解释其实也不是很好，将就吧）。 Peano公理，用通俗的话说，是说自然数必须有个1；然后有了1，后面就一定得有个2，而且只有一个2，以此类推；然后还要有归纳法，或者说从1开始的一个无穷序列必须构成一个集合。 这组公理并没有说明自然数存在，但我们可以把只含一个空集一个元素的集合当成1，然后把1与空集作为两元素的集合当成2，以此类推，构造出确实有这么一个自然数的集合。 在公理的基础上，我们还可以定义加法的运算，并证明它们的运算性质。（顺便说一句，你会发现很多人曾无聊地问过的“1 + 1 = 2”恰是由加法的定义直接保证的