设数列｛an｝的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n属于自然数，Sn是an2和an的等差中项

证明，（1）数列｛an｝为等差数列，并求其通项公式

由题意知 对任意n有
2S[n]=a[n]^2+a[n]
同样有：
2S[n-1]=a[n-1]^1+a[n-1]
两式相减，得
左边=2S[n]-2S[n-1]=2a[n]
即
2a[n]=a[n]^2+a[n]-(a[n-1]^2+a[n-1])
a[n]+a[n-1]=(a[n]+a[n-1])(a[n]-a[n-1])
而 a[n]是正数，所有
a[n]-a[n-1]=1
即 a[n]是公差为1的等差数列

特别地，当n=1时
有
S1=a1
2S1=a1^2+a1
a1^1-a1=0
a1>0
所以 a1=1
所以 {an}是首项为1，公差为1的等差数列，通项是： an=n

(1)根据题意得 2sn=an^2+an 2sn-1=an-1^2+an-1 两式相减得 2(sn-sn-1)=an^2-an-1^2+an-an-1 2an=an^2-an-1^2+an-an-1 an^2-an-1^2-an-an-1=0，平方差加分组分解得 (an+an-1)(an-an-1)-(an+an-1)=0 因为数列各项为正数，所以an+an-1>0，所以等式两边同除an+an-1得 an-(an-1)-1=0 an-an-1=1 另外，令n=1，则s1=a1，所以 2a1=a1^2+a1 a1((a1)-1)=0，因为各项为正，所以a1=1即数列为首项为1，公差为1的等差数列，通项公式为 an=1+(n-1)*1=n (2)因为an=n那么对于任意正数i(0<i≤n)有 si=i(i+1)/2，所以 1/si=2/[i(i+1)]=2[1/i-1/(i+1)] 所以不等式左边 =2(1-1/2)+2(1/2-1/3)+...+2(1/n-1/n+1) =2(1-1/2+1/2-1/3+1/3-...+1/n-1/n+1) =2(1-1/n+1) <2 所以不等式成立