若对于任意x∈R,都有e的-x次方+ax≥0成立，则实数a的取值范围？
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解决时间 2021-12-30 17:00
- 提问者网友：谁的错
- 2021-12-30 06:28
若对于任意x∈R,都有e的-x次方+ax≥0成立，则实数a的取值范围？
最佳答案
- 五星知识达人网友：神鬼未生
- 2021-12-30 07:57
解：
令f(x)=e⁻ˣ+ax
f'(x)=a-e⁻ˣ
e⁻ˣ恒>0，-e⁻ˣ恒<0
a≤0时，f'(x)<0，f(x)单调递减
x→+∞时，e⁻ˣ→0，ax→-∞，f(x)→-∞，不满足题意，因此只有a>0
令f'(x)≤0，得a-e⁻ˣ≤0
x≤-lna
f(x)在(-∞，-lna]上单调递减，在[-lna，+∞)上单调递增
要不等式e⁻ˣ+ax≥0对于任意实数x恒成立，f(-lna)≥0
e^[-(-lna)]+a(-lna)≥0
a(lna-1)≤0
0
a的取值范围为(0，e]
令f(x)=e⁻ˣ+ax
f'(x)=a-e⁻ˣ
e⁻ˣ恒>0，-e⁻ˣ恒<0
a≤0时，f'(x)<0，f(x)单调递减
x→+∞时，e⁻ˣ→0，ax→-∞，f(x)→-∞，不满足题意，因此只有a>0
令f'(x)≤0，得a-e⁻ˣ≤0
x≤-lna
f(x)在(-∞，-lna]上单调递减，在[-lna，+∞)上单调递增
要不等式e⁻ˣ+ax≥0对于任意实数x恒成立，f(-lna)≥0
e^[-(-lna)]+a(-lna)≥0
a(lna-1)≤0
0
a的取值范围为(0，e]
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