（1）已知A（2，0），B（-1，2），点C在直线2x+y-3=0上，求△ABC重心G的轨迹方程．（2）如果焦点是F（0，

（1）已知A（2，0），B（-1，2），点C在直线2x+y-3=0上，求△ABC重心G的轨迹方程．（2）如果焦点是F（0，±52）的椭圆截直线3x-y-2=0所得弦的中点横坐标为12，求此椭圆方程．

（1）设△ABC重心G的坐标为（x，y），C（m，n），则







3x＝2?1+m
3y＝0+2+n
∴m=3x-1，n=3y-2
∵点C在直线2x+y-3=0上，
∴2（3x-1）+（3y-2）-3=0
即6x+3y-7=0
∵A，B，C三点不共线
∴6x+3y?7＝0(x≠
5
4 )；
（2）由题意可设椭圆方程为
y2
a2 +
x2
b2 =1（a＞b＞0），
∵c=5



2 ，∴a2-b2=50①
把直线方程y=3x-2代入椭圆方程整理得（a2+9b2）x2-12b2x+b2（4-a2）=0．
设弦的两个端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则由根与系数的关系可得，x1+x2=
12b2
a2+9b2
由中点坐标公式可得，
12b2
a2+9b2 ×
1
2 =
1
2
∴a2=3b2②
联立①②可得，a2=75，b2=25
∴椭圆方程为
x2
25 +
y2
75 ＝1

设g的坐标为（x,y）,设c点坐标为（m,n） 则由重心公式得出g的坐标：x=(2-1+m)/3,y=(0+2+n)/3 得出m＝3x－1，n＝3y-2 又因为c点在直线2x+y-3=0上，带入m,n得： 2m+n-3=0,即2(3x-1)+(3y-2)-3=0,得出：6x+3y-7=0为g的轨迹