已知函数f（x）=x-alnx+1+ax（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）在区间[1，e]上存在一

已知函数f（x）=x-alnx+1+ax（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）在区间[1，e]上存在一个零点，求a的取值范围．

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
∴f′(x)＝1?
a
x ?
1+a
x2 ＝
x2?ax?(1+a)
x2 ＝
(x+1)[x?(1+a)]
x2 ，
由定义域可知x+1＞0．
①当a+1＞0，即a＞-1时，
由f'（x）＞0得x＞1+a；由f'（x）＜0得x＜1+a．
所以f（x）的增区间为（1+a，+∞），减区间为（0，1+a）．
②当1+a≤0，即a≤-1时，易见f'（x）＞0．
所以f（x）的增区间为（0，+∞）．
（2）f（x）在区间[1，e]上存在一个零点等价于f（x）在区间[1，e]的最小值不大于0．
①若1+a≥e，即a≥e-1时，由（1）可知f（x）在区间[1，e]为减函数，
所以f(x)min＝f(e)＝e+
1+a
e ?a≤0，
解得a≥
e2+1
e?1
因为
e2+1
e?1 ＞e?1，所以a≥
e2+1
e?1 ．
②当1+a≤1，即a≤0时，f（x）在[1，e]上单调递增，
所以f（x）的最小值为f（1）=1+1+a≤0
解得a≤-2．
③当1＜1+a＜e，即0＜a＜1-e时，f（x）的最小值为f（1+a）=2+a-aln（1+a）
因为0＜ln（1+a）＜1，所以f（1+a）=2+a[1-ln（1+a）]＞2
即此时f（x）在区间[1，e]上无零点．
综合①，②，③的讨论可知a的取值范围是(?∞， ?2]∪[
e2+1
e?1 ， +∞]．

f'(x)=a/x-a=a(1/x-1) 定义域x>0 所以0<x<1,1/x-1>0 x>1,1/x-1<0 所以 a>0,则0<x<1,f'(x)>0,增函数 x>1,f'(x)<0,减函数 a<0,则x>1,f'(x)>0,增函数 0<x<1,f'(x)<0,减函数 综上 a>0,增区间(0,1),减区间(1,+∞) a<0,增区间(1,+∞),减区间(0,1) (ii) 由（2,f(2)）点切线倾斜角为45得，f'(2)=1，即a/2-2=1,则，a=-2,f'(x)=-2/x+2， 则g(x)=x^3+x^2(-2/x+2+m/2)=x^3+(2+m/2)x^2-2x, g'(x)=3x^2+(4+m)x-2,题中说函数有极值，也就是说在(2,3)范围内，g'(x)=0有解，因为g'(0)=-2<0,所以当且仅当g'(2)<0且g'(3)>0时方程有解，3*2^2+(4+m)*2-2<0且3*3^2-3(4+m)-2>0,解之得-37/3<m<-9, 所以-37/3<m<－9