如图,在等边三角形△ABC中,D是AC中点DF垂直BC于点F,延长BC到E,使CE=二分之一AB,求证BF=EF

证明:
∵⊿ABC 是等边三角形
∴AB=AC=DC
∠ACB=60º
∵DF⊥BC
∴∠DFC=90º
∠FDC=90º-60º=30º
∴FC=½CD
∵D是AC的中点
∴CD=½AC
∴FC=¼AC=¼BC
则BF=¾BC
EF=FC+CE=¼BC+½BC=¾BC【CE=½AB=½BC】
∴BF=EF

过A点做AG垂直于BC，则BG=GC。 又D为AC中点，所以F点为BC的三等分点，所以BF=2FC。 因为CE=1/2AB，且ABC为等边三角形，所以BF=EF (FC+CE=BG+FG)

证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线， ∴∠ABC=∠ACB=60°． ∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）． 又∵CE=CD， ∴∠CDE=∠CED． 又∵∠BCD=∠CDE+∠CED， ∴∠CDE=∠CED= 12∠BCD=30°． ∴∠DBC=∠DEC． ∴DB=DE（等角对等边）．

∵△abc是等边三角形

∴∠abc=∠acb=60º，bc=ac=bc

∵d是ac的中点,ce=½ab

∴cd=ce,∠dbc=½∠abc=30º

∴∠e=∠cde=½∠acb=30º

∴∠dbc=∠e

∴db=de

∵df垂直bc于f

∴bf=ef