求对面积的曲面积分∫∫zds,其中∑为球面x^2+y^2+z^2=R^2

设∑1表示上半球面：z1=√（R^2-x^2-y^2）,∑2表示下半球面z2= —√（R^2-x^2-y^2)

理解对面积的曲面积分的物理意义对于解题很有帮助。
把被积函数z看做球体表面面密度，然后再对曲面积分，即求球表面质量。
然后看题目给的条件：x^2+y^2+z^2=R^2 ，z是关于x，y的曲面函数（R是已知量）。
z^2=R^2-x^2-y^2 ，等式两边开根号得到两个z的表达式，即
上半球：z1=√（R^2-x^2-y^2)，下半球：z2= —√（R^2-x^2-y^2）。
根据z的物理意义，把z看做球表面面密度。
上班球和下半球密度的绝对值相等，但符号相反。（一个看成正密度，一个看成负密度）。
此题即求曲表面面积大小相等，面积密度互为相反的两个半球的质量之和。
可以比较直观地想象出答案，即∫∫ z dS = 0。（对称性的解释比较抽象，需要把对面积的曲面积分转换为二重积分来作解释。）
http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu2/lesson/10.4duqumian.htm 这里有转换过程的解释

由对称性，∫∫ z dS = 0, 其中∑为球面x^2+y^2+z^2=R^2。

因为被积函数z是变量z的奇函数，而积分曲面（球面）关于坐标面z=0对称，所以曲面积分等于0.

z=√(r²-x²-y²) zx=-x/√(r²-x²-y²),zy=-y/√(r²-x²-y²) ∫∫zds =∫∫√(r²-x²-y²)*√[1+(x²+y²)/(r²-x²-y²)] dxdy =∫∫√(r²-x²-y²)*r/√(r²-x²-y²) dxdy =r∫∫ dxdy =r*πr² =πr³