问一道函数周期性的数学题目

设定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)+f(x)=1，且当x属于[1，2]时，f(x)=2-x，则f(-2004.5)等于多少？

要求有过程的，谢啦

当x属于[1，2]时，f(x)=2-x

由f(x+1)+f(x)=1 ，知f(x)+f(x-1)=1  f(x)=1-f(x-1)

f(-2004.5)

=f(2004.5)

=1-f(2003.5)

=1-(1-f(2002.5))

=f(2002.5)

....

=f(2.5)

=1-f(1.5)

当x属于[1，2]时，f(x)=2-x

故f(2004.5)=1-f(1.5)=1-(2-1.5)=0.5

将x用x+1带入函数

得f（x+1+1）+f（x+1）=1，而f(x+1)+f(x)=1

所以f（x）=f（x+2）

可以知道该函数的最小正周期为2

且当x属于[1，2]时，f(x)=2-x

所以f（-2004.5）=f（-0.5）=f（1.5）=2-1.5=0.5

由当x属于[1，2]时，f(x)=2-x，则当x属于[0，1]时 x+1属于[1，2]

所以有f(x+1)+f(x)=2-（ｘ＋１）＋f(x)=1  得f(x)=x

即当x属于[0，1]时 f(x)=x，画出f(x)的图形可知（先讨论x是正数时），f(x)是周期为2 的周期函数，

f(x)是偶函数 ，所以f(-2004.5)=f(2004.5)=f(0,5)=0.5

因为f是偶函数,所以f(-2004.5)=f(2004.5); f(1.5)=0.5,f(2.5)=1-f(1.5)=0.5......f(2004.5)=0.5;

因此f(-2004.5)=0.5

可知f（x+1+1）+f（x+1）=1

而f(x+1)+f(x)=1

所以f（x）=f（x+2）

所以f（-2004.5）=f（-0.5）=f（1.5）

因为x属于[1，2]时，f(x)=2-x

所以f（-2004.5）=f（1.5）=0.5