设正数a、b、c、x、y、z 满足ax+by=c,bz+cx=a,cy+az=b,则以a、b、c为边的三角形一定是什么三角形？
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解决时间 2021-03-29 02:43
- 提问者网友：藍了天白赴美
- 2021-03-28 17:05
设正数a、b、c、x、y、z 满足ax+by=c,bz+cx=a,cy+az=b,则以a、b、c为边的三角形一定是什么三角形？
最佳答案
- 五星知识达人网友：山君与见山
- 2021-03-28 17:56
ax+by=c ==>acx+bcy=c^2 ......(1)
bz+cx=a ==>abz+acx=a^2 ......(2)
cy+az=b ==>bcy+abz=b^2 ......(3)
(1)-(2)+(3)
2bcy=b^2+c^2-a^2 ==>y=(b^2+c^2-a^2)/2bc
(1)+(2)-(3)
2acx=a^2+c^2-b^2 ==>x=(a^2+c^2-b^2)/2ac
(2)+(3)-(1)
2abz=a^2+b^2-c^2 ==>z=(a^2+b^2-c^2)/2ab
因为a、b、c、x、y、z为正数，a、b、c为三角形ABC的边，
所以cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=y>0
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=x>0
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab=z>0
所以A，B，C为锐角，三角形ABC为锐角三角形。
bz+cx=a ==>abz+acx=a^2 ......(2)
cy+az=b ==>bcy+abz=b^2 ......(3)
(1)-(2)+(3)
2bcy=b^2+c^2-a^2 ==>y=(b^2+c^2-a^2)/2bc
(1)+(2)-(3)
2acx=a^2+c^2-b^2 ==>x=(a^2+c^2-b^2)/2ac
(2)+(3)-(1)
2abz=a^2+b^2-c^2 ==>z=(a^2+b^2-c^2)/2ab
因为a、b、c、x、y、z为正数，a、b、c为三角形ABC的边，
所以cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=y>0
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=x>0
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab=z>0
所以A，B，C为锐角，三角形ABC为锐角三角形。
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- 1楼网友：神的生死簿
- 2021-03-28 20:12
好高深
- 2楼网友：人间朝暮
- 2021-03-28 19:18
只要证明a^2+b^2
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