零点存在性定理

零点存在性定理

这是零点存在的充分条件，而不是零点存在的必要条件。
也就是说：‘零点存在性定理’的逆命题是假命题。
再说通俗一点：满足‘零点存在性定理’的条件时零点一定在区间（a，b）内存在；当函数在区间（a，b）内存在时，其端点的函数值的积不一定小于零。（如你所述）

是零点，但是注意一下了零点存在定理的解释 1、连续不断的一条曲线, 2、f(a)*f(b）＜0，你第二个条件不符合啊，所以零点存在定理不是用于这道题

即该函数有零点，不一定能说明该函数适用于零点存在定理。
若该函数适用于零点存在定理，则该函数一定存在零点

你得理解零点存在定理是一个存在性定理，只要满足他的条件就有后面的结论。但是并没有说不满足条件就不能得到结论呀

浙江精锐数学教师为您解答：存在性，就是在这种情况下一定存在零点，而不是有零点的话就一定满足这个条件。
这个定理不是一个零点存在的充要条件，只是充分不必要条件。

零点存在定理是说：f(x)满是连续函数前提下，在其连续闭区间内两端点乘积小于零，则推出闭区间所对应的开区间内必定存在至少一个零点。
由逆否命题推知：f(x)满是连续函数前提下，其某个闭区间所对应的开区间内没有零点，则闭区间的两端点乘积大于等于零。
以上两个是正确的命题。你所说的是第一个命题（即零点存在定理）的否命题：f(x)满是连续函数前提下，在其连续闭区间内两端点乘积大于零，则推出闭区间所对应的开区间内没有零点。有逻辑可以知道这显然是不一定成立的，事实上你举的例子正好证明了这一点。

零点存在性定理
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与 f(b)异号（即f(a)× f(b)<0），那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ（a<ξ
证明：不妨设f(a)<0,f(b)>0.令
E={x|f(x)<0,x∈[a,b]}.
由f(a)<0知E≠Φ,且b为E的一个上界，于是根据确界存在原理，
存在ξ=supE∈[a,b].
下证f(ξ)=0（注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此时必有ξ∈(a,b).）.事实上，
(i)若f(ξ)<0,则ξ∈[a,b).由函数连续的局部保号性知
存在δ>0,对x1∈(ξ,ξ+δ):f(x)<0→存在x1∈E:x1>supE,
这与supE为E的上界矛盾；
(ii)若f(ξ)>0,则ξ∈(a,b].仍由函数连续的局部保号性知
存在δ>0,对x1∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在x1为E的一个上界，且x1<ξ,
这又与supE为E的最小上界矛盾。
综合(i)(ii)，即推得f(ξ)=0。