若f(x)对一切x1,x2,满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且f(x)在x=0处连续,证明:f(x)在任意点连续

若f(x)对一切x1,x2,满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且f(x)在x=0处连续,证明:f(x)在任意点连续

函数连续的定义是：
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义 。如果当自变量Δx趋向于0时· 相应的函数改变量Δy也趋向于0， 则称函数y=f(x)在点x0处连续。
已知函数在x=0处连续，那么就有
lim(a→0)(f(0+a)-f(0)) = lim(a→0)[f(a)+f(0)-f(0)] = lim(a→0)f(a) = 0
现在来考察x=x0处的连续性
根据定义
lim(a→0)(f(x0+a)-f(x0)) = lim(a→0)(f(a)+f(x0)-f(x0)) = lim(a→0)f(a) = 0
因此在x=x0处也满足连续的定义，因此，f(x)任意点均连续。