计算题第二题

计算题第二题

2. f(λ) = |λE-A| =
|λ-1 -2 3|
| 1 λ-4 3|
|-1 -a λ-5|
f(λ) = (λ-1)(λ-4)(λ-5) + 6 -3a + 3(λ-4) + 3a(λ-1) + 2(λ-5)
= λ^3 - 10λ^2 + (34+3a)λ- 6(6+a) , 有二重根
设 f(λ) = (λ-x)(λ-y)^2 = λ^3 - (x+2y)λ^2 + y(2x+y)λ- xy^2
则 x+2y = 10， y(2x+y) = 34+3a， 6(6+a) = xy^2。
联立解得 y = 2, x = 6, a = -2.
对于重特征根 λ = 2， λE-A =
[ 1 -2 3]
[ 1 -2 3]
[-1 2 -3]
初等行变换为
[ 1 -2 3]
[ 0 0 0]
[ 0 0 0]
r = 1, 有 2 个特征向量，
矩阵 A 可以对角化。