函数在某一点可导 导函数在该点不一定连续 举例说明（或者函数在某一点可导 在该点的临域不可导）分段函

函数在某一点可导 导函数在该点不一定连续 举例说明（或者函数在某一点可导 在该点的临域不可导）分段函

x≠0时,f(x)=x²sin(1/x)x=0时,f(x)=0这个函数在x≠0时,可得其导函数为f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x),也就是说,从这个式子来看,这个函数在x≠0时是存在导数的,且导函数是由基本初等函数函数构成的,因而在x≠0的部分是连续的.现在来求x=0时是否是可导的,根据导数的定义lim(a→0)[f(0+a)-f(0)]/a=lim[a²sin(1/a)-0]/a=lim[sin(1/a)/(1/a)]因为sin(1/a)是有界的,1/a是趋近于无穷大的,因此上述极限等于0,故而原函数在x=0处的导数存在且等于0.但是可以看到lim(x→0)f'(x)这个极限第一部分2xsin(1/x)=0,而第二部分cos(1/x)却不定,因此极限不存在,故而可以得到你的结论.函数在某一点可导,但是导函数不一定连续. 楼上的把题目看清楚了,可导说明原函数必定连续,人家问的是导函数连不连续,不在一个阶上.======以下答案可供参考======供参考答案1:命题就是错的，可导必连续供参考答案2:你把任何一个分段函数进行变限积分，得到的都是可导 导函数在该点不连续的函数 f(x)=x^2sin(1/x)，x不为0，x=0，函数为0.

谢谢解答