证明极限的唯一性

证明极限的唯一性

设{xn}极限为A，回忆一下极限定义，任取ε>0，存在N>0，当n>N时，有 |xn-A|<ε
证明极限唯一性，假设{xn}有两个极限A，B，且A>B
取ε=(A-B)/2，
存在N1，当n>N1时，有 |xn-A|<(A-B)/2 (1)
存在N2，当n>N2时，有 |xn-B|<(A-B)/2 (2)
取N=max{N1，N2}，则当n>N时，上面两式同时成立
(1)可化为：(B-A)/2<xn-A<(A-B)/2，可得 (B+A)/2<xn<(A-B)/2+A
(2)可化为：(B-A)/2<xn-B<(A-B)/2，可得 (B-A)/2+B<xn<(A+B)/2
出现矛盾，一个式子是xn>(A+B)/2，另一个是xn<(A+B)/2
因此极限唯一。

这个一般用反证法 我说的是一般 假设如果另一个极限 然后最后推出这两个相等

(a+b)&sup2=|a+b|&sup2 开方即得;,b²=|a|² 所以a²+2ab+b²≤|a|²+2|a||b|+|b|² 即(a+b)²≤(|a|+|b|)²;=|b|&sup2用了一个关于绝对值的不等式： |a+b|≤|a|+|b| 证明如下： 因为2ab≤2|ab|=2|a||b| 注意到a&sup2