已知函数f（x）=e x -ln（x+1）（1）求曲线y=f（x）上一点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）

已知函数f（x）=e x -ln（x+1）（1）求曲线y=f（x）上一点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）证明： e+ e 1 2 + e 1 3 +…+ e 1 n ≥ln(n+1)+n(n∈ N * ，e为常数) ．

（1）∵函数f（x）=e x -ln（x+1），
∴f′（x）=e x -
1
x+1 ，
∴k=f′（0）=e 0 -
1
0+1 =0，
f（0）=e 0 -ln1=1，
∴曲线y=f（x）上一点（0，f（0））处的切线方程为：y-1=0．
（2）∵f′（x）=e x -
1
x+1 ，x＞-1．
∴由f′（x）=e x -
1
x+1 =0，得x=0．
当x＞0时，e＞1，
1
x+1 ＜1，所以当x＞0时，f′（x）＞0；
当-1＜x＜0时，ex＜1，
1
x+1 ＞1，所以当x＜0时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）的减区间是（-1，0），增区间是（0，+∞）．
（3）∵函数f（x）的减区间是（-1，0），增区间是（0，+∞），
∴当x=0时，f（x）取得最小值f（0）=1，∴f（x）≥1，
∴e x -ln（x+1）≥1，即e x ≥ln（x+1）+1，
取x=
1
n ，则 e
1
n   ≥ln（
1
n +1）+1=ln（n+1）-lnn+1，
于是e≥ln2-ln1+1，
e
1
2 ≥ln3-ln2+1，
e
1
3 ≥ln4-ln3+1，
…
e
1
n ≥ln（n+1）-lnn+1．
相加得，e+ e
1
2 + e
1
3 +…+ e
1
n ≥ln（n+1）+n．（n∈N*，e为常数）．
故 e+ e
1
2 + e
1
3 +…+ e
1
n ≥ln(n+1)+n(n∈ N * ，e为常数) ．

f（x）=e^x+ln(x+1) 求导得到f‘（x）=e^x+1/(x+1) 故k=f’（0）=2 而f（0）=1 所以切线方程为y=2x+1