求∑(n+2)x^(n+3)的和函数
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解决时间 2021-02-04 08:17
- 提问者网友：容嬷嬷拿针来
- 2021-02-04 03:29
求∑(n+2)x^(n+3)的和函数
最佳答案
- 五星知识达人网友：醉吻情书
- 2021-02-04 04:58
∑(n+2)x^(n+3)=x²∑(n+2)x^(n+1)
记f(x)=∑(n+2)x^(n+1)
积分得：F(x)=C+∑x^(n+2)=C+x³/(1-x), |x|<1
再求导： f(x)=(3x²-2x³)/(1-x)=x²(3-2x)/(1-x)
因此∑(n+2)x^(n+3)=x²f(x)=x^4(3-2x)/(1-x)
记f(x)=∑(n+2)x^(n+1)
积分得：F(x)=C+∑x^(n+2)=C+x³/(1-x), |x|<1
再求导： f(x)=(3x²-2x³)/(1-x)=x²(3-2x)/(1-x)
因此∑(n+2)x^(n+3)=x²f(x)=x^4(3-2x)/(1-x)
全部回答
- 1楼网友：玩世
- 2021-02-04 05:42
对函数
f(x) = ∑(n>=1)[(n+2)x^(n+1)]，|x|<1，
逐项积分，得
∫[0,x]f(t)dt = ∑(n>=1)[x^(n+2)]
= -(1+x+x²)+1/(1-x)，|x|<1，
求导，得
f(x) = -(1+2x)+1/(1-x)²，|x|<1，
于是，
∑(n>=1)[(n+2)x^(n+1)]
= f(x)*x²
= -(1+2x)x²+x²/(1-x)²，|x|<1。
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