已知sinθ，sinx，cosθ成等差数列，sinθ，siny，cosθ成等比数列．证明：2cos2x=cos2y．

已知sinθ，sinx，cosθ成等差数列，sinθ，siny，cosθ成等比数列．证明：2cos2x=cos2y．

证明：∵sinθ与cosθ的等差中项是sinx，等比中项是siny，
∴sinθ+cosθ=2sinx，①sinθcosθ=sin²y，②…（4分）
①²-②×2，可得 （sinθ+cosθ）²-2sinθcosθ=4sin²x-2sin²y，即4sin²x-2sin²y=1．
∴4×
1?cos2x
2?2×
1?cos2y
2＝1，即2-2cos2x-（1-cos2y）=1．
故证得2cos2x=cos2y．…（8分）

试题解析：

利用等差数列的定义和性质，等比数列的定义和性质可得，sinθ+cosθ=2sinx，sinθcosθ=sin²y，再利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式证得不等式成立．

名师点评：

本题考点： 分析法和综合法；等差数列的性质；等比数列的性质．
考点点评： 本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的定义和性质，同角三角函数的基本关系、及二倍角公式的应用，属于中档题．