不等式ax^2+bx+c＞0的解为α＜x＜β 求不等式cx^2+bx+a＞0的解集

要过程

ax^2+bx+c>0的解集为α<x<β(x-α)(x-β)<0x^2-(α+β)x+αβ<0a=1,b=-(α+β),c=αβcx^2+bx+a=αβx^2-(α+β)X+1>0(αX-1)(βx-1)>0β>α>0,解集为1/β<x<1/α

答.第一种情况：c=0 1)b=0 则条件中的不等式解集为空，不符 2)b<0（或>0） 此时即为求不等式bx+a<0的解集 为x>-a/b（或<-a/b） 第二种情况：c不等于0 显然α,β均不为0（因为它们是方程ax^2+bx+c=0的两根） 注意到α,β为方程ax^2+bx+c=0的两根， 将方程变形为c*(1/x)^2+b*(1/x)+a=0 作代换t=1/x，则方程即为ct^2+bt+a=0（即与结论中的不等式形式一致） t=1/α，t=1/β为其两根 1)当α,β同号（不管正还是负），由α<β均有1/α>1/β A. c<0时，所求解集在两根之外，即x<1/β或x>1/α B. c>0时，所求解集在两根之内，即1/β<x<1/α 2)当α,β异号时，由α<β有由α<0,β>0，从而1/α<1/β A. c<0时，同理知所求为x<1/α或x>1/β B. c>0时，所求为<1/α<x<1/β

由题设知道，a＜0，方程ax^2+bx+c=0可化为a（x-α)(x-β）=0，化简得

ax^2-a(α+β)x+aαβ =0,对比可得b=-a(α+β），c=aαβ

故cx^2+bx+a=a（αβx^2-(α+β)x+1)＞0，即（αβx^2-(α+β)x+1)＜0

解得1/β＜x＜1/α