三角形顶点的定义

三角形顶点的定义

问题一：定义:若经过三角形顶点的一条直线把三角形分割出至少一个图形与原三角形相似, 135分（1）证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=45°，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD．∴△ABD和△ACD是等腰三角形，∴△ABC是生成三角形（2）如图（1）、（2）所示，（3）如图（3），将任意一个等腰三角形△ABC的底边BC延长至D，使得CA=CD，连接AD则可知构造的△ABD为生成三角形．由于等腰三角形△ABC是任意，故不同种类的生成三角形有无数多个．问题二：下面语句是那个定义的特征？（1）连接三角形的顶点和对边中点的线段； （2）三角形一边的延长线和另一 （1）三角形的中线；（2）三角形的外角；（3）不等式组的解集；（4）点到直线的距离．问题三：如果我们定义：“到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的开心点。”那么： （1）如图1，观察并 （1）无数；（2）90°；（3）2或 . 试题分析：（1）根据线段垂直平分线的性质可知，△ABC的开心点有无数个；（2）连接PA、PB，根据开心点的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度数；（3）先根据勾股定理求出AC的长度，根据开心点的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解.试题解析：（1）无数.（2）①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC，∵CD为等边三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°.∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD= DB= AB.与已知PD= AB矛盾，∴PB≠PC.②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC.③若PA=PB，由PD= AB，得PD=AD =BD，∴∠APD=∠BPD=45°. ∴∠APB=90°.（3）∵BC=5，AB=3，∴AC= .①若PB=PC，设PA= ，则 ，∴ ，即PA= .②若PA=PC，则PA=2.③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能.∴PA=2或 .问题四：定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”． 直线l：y=13x+b经过点M（0，14），则b=14；∴直线l：y=13x+14．由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；∴该等腰三角形的高等于斜边的一半．∵0＜d＜1，∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；∵当x=1时，y1=13×1+14=712＜1，当x=2时，y2=13×2+14=1112＜1，当x=3时，y3=13×3+14=54＞1，∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2．①若B1为顶点，由B1（1，712），则d=1-712=512；②若B2为顶点，由B2（2，1112），则d=1-[（2-1112）-1]=1112，综上所述，d的值为512或1112时，存在美丽抛物线．故选B．问题五：联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外 （1）90°；（2）PA=2或PA= . 试题分析：（1）连接PA、PB，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度数；（2）先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解．试题解析：（1）∵CD是等边三角形ABC的高∴∠ADC=∠BDC=90°，AD=BD∵PD= AB∴PD=AD=BD又∵∠ADC=∠BDC=90°∴∠APD=∠BPD=45°∴∠APB=90°（2）∵△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3∴AC=4.①若PA=PB，在Rt△ABC中不可能，排除；②若PA=PC则PA=2；③若PB=PC，连接PB，设PA=x，则PB=PC=4－x在Rt△ABP中有 ,即 解得： ， 即PA= 综上所述：PA=2或PA= 考点: 1.线段垂直平分线的性质；2.等边三角形的性质；3.等腰直角三角形．

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