利用定义证明函数f（x)=根号下（x方加一）-x在其定义域内为减函数
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解决时间 2021-11-08 15:05
- 提问者网友：浩歌待明月
- 2021-11-07 21:53
利用定义证明函数f（x)=根号下（x方加一）-x在其定义域内为减函数
最佳答案
- 五星知识达人网友：独行浪子会拥风
- 2021-11-07 23:27
任取实数x1,x2且x1
=[√(x1²+1)- √(x2²+1)]+[ x2-x1]
=[(x1²+1)- (x2²+1)]/ [√(x1²+1)+√(x2²+1)] +[ x2-x1]
= (x1²- x2²) / [√(x1²+1)+√(x2²+1)] +[ x2-x1]
=(x1- x2){ (x1+ x2) / [√(x1²+1)+√(x2²+1)]-1}
=(x1- x2) (x1+ x2-√(x1²+1)- √(x2²+1)) / [√(x1²+1)+√(x2²+1)]
∵x1
x1+ x2-√(x1²+1)- √(x2²+1)<0.
所以(x1- x2) (x1+ x2-√(x1²+1)- √(x2²+1)) / [√(x1²+1)+√(x2²+1)]>0
∴函数f（x)=√(x²+1)-x在其定义域内为减函数。
=[√(x1²+1)- √(x2²+1)]+[ x2-x1]
=[(x1²+1)- (x2²+1)]/ [√(x1²+1)+√(x2²+1)] +[ x2-x1]
= (x1²- x2²) / [√(x1²+1)+√(x2²+1)] +[ x2-x1]
=(x1- x2){ (x1+ x2) / [√(x1²+1)+√(x2²+1)]-1}
=(x1- x2) (x1+ x2-√(x1²+1)- √(x2²+1)) / [√(x1²+1)+√(x2²+1)]
∵x1
x1+ x2-√(x1²+1)- √(x2²+1)<0.
所以(x1- x2) (x1+ x2-√(x1²+1)- √(x2²+1)) / [√(x1²+1)+√(x2²+1)]>0
∴函数f（x)=√(x²+1)-x在其定义域内为减函数。
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