一道函数题:已知函数f(x)=k+√x-2 ,若在其定义域内存在区间[a,b],使得f(x)在区间[a,b]上的值域也是

一道函数题:已知函数f(x)=k+√x-2 ,若在其定义域内存在区间[a,b],使得f(x)在区间[a,b]上的值域也是[a,b]
已知函数f(x)=k+√x-2 ,若在其定义域内存在区间[a,b],使得f(x)在区间[a,b]上的值域也是[a,b],求实数k的取值范围
（√x-2 ）是一个整体，2在根号里边

已知函数f(x)=k+√(x-2) ,若在其定义域内存在区间[a,b],使得f(x)在区间[a,b]上的值域也是[a,b],求实数k的取值范围
解析：∵函数f(x)=k+√(x-2),∴其定义域为x>=2
F‘(x)=1/[2√(x-2)]>0
∴函数在定义域内单调增；
令k+√(x-2)=x
==>x-2=x^2+k^2-2kx==>x^2-(2k+1)x+k^2+2=0
X1=[(2k+1)-√(4k-7)]/2,X2=[(2k+1)+√(4k-7)]/2
∵在其定义域内存在区间[a,b],使得f(x)在区间[a,b]上的值域也是[a,b]
∴x^2-(2k+1)x+k^2+2=0只要存在二个不等的实数解x1,x2,且2k>7/4
[(2k+1)-√(4k-7)]/2>=2==>(2k+1)-√(4k-7)>=4==>(k-2)^2>=0
∴k>7/4
再问： 因为有两解，k还应该小于等于2
再答： 解析：∵函数f(x)=k+√(x-2)，∴其定义域为x>=2 F‘(x)=1/[2√(x-2)]>0 ∴函数在定义域内单调增； 令h(x)=k+√(x-2)-x 令h’(x)=1/2(x-2)^(-1/2)-1=0==>x=9/4 h’’(x)=-1/4(x-2)^(-3/2)>0 ∴函数h(x)在x=9/4处取极大值h(9/4)=k-7/4 ∵在其定义域内存在区间[a,b]，使得f(x)在区间[a,b]上的值域也是[a,b] ∴h(x)=k+√(x-2)-x=0只要存在二个不等的实数解x1,x2，且2k>7/4，且x1x=9/4 函数g(x)在x=9/4处取极小值g(9/4)=7/4 当x=2时k=g(2)=2 ∴令g(x)=x-√(x-2)=2==>x1=2,x2=3 ∴在f(x)其定义域内存在区间[2,3]，使得f(x)在区间[2,3]上的值域也是[2,3] ∴7/4