已知函数f(X)=X的3次方+ax+b(a,b属于R)且集合A={X|X=f(X)},B={X|X=f[f(X)]} (1)求A含于B (2)当A={-1,3}时,用列举法表示B。
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已知函数f(X)=X的3次方+ax+b(a,b属于R)且集合A={X|X=f(X)},B={X|X=f[f(X)]}
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解决时间 2021-02-19 14:06
- 提问者网友:愿为果
- 2021-02-18 22:45
最佳答案
- 五星知识达人网友:怀裏藏嬌
- 2021-02-18 23:18
A: 即为f(x)=x的根。
B: 即为f(f(x))=x的根。
若a为A的元素,则有f(a)=a,此时,f(f(a))=f(a)=a, 因此a也是B中的元素。所以A中的元素都是B中的元素,即A含于B。
2)A={-1, 3}
f(-1)=-1=-1-a+b---> a=b
f(3)=3=27+3a+b--->3a+b=-24
解得:a=b=-6
f(x)=x^3-6x-6 , f(x)=x 还有另一个根-2.
B: f(f(x))=f(x)^3-6f(x)-6=x 至少有3个根-1,3, -2.
f(x)^3-xf(x)^2+xf(x)^2-x^2f(x)+x^2f(x)-x^3-6f(x)+6x+x^3-7x-6=0
[f(x)-x][f(x)^2+xf(x)+x^2-5]=0,所以有:
f(x)-x=0即为上面3个根-1,3,-2
f(x)^2+xf(x)+x^2-5=0-->
x^6-12x^4-12x^3+36x^2+72x+36+x^4-6x^2-6x+x^2-5=0
x^6-11x^4-12x^3+31x^2+66x+31=0
此方程有两个实根:X1=-1.72934224991135,X2=-0.795760004902966
因此B={-1,3,-2, x1,x2}
B: 即为f(f(x))=x的根。
若a为A的元素,则有f(a)=a,此时,f(f(a))=f(a)=a, 因此a也是B中的元素。所以A中的元素都是B中的元素,即A含于B。
2)A={-1, 3}
f(-1)=-1=-1-a+b---> a=b
f(3)=3=27+3a+b--->3a+b=-24
解得:a=b=-6
f(x)=x^3-6x-6 , f(x)=x 还有另一个根-2.
B: f(f(x))=f(x)^3-6f(x)-6=x 至少有3个根-1,3, -2.
f(x)^3-xf(x)^2+xf(x)^2-x^2f(x)+x^2f(x)-x^3-6f(x)+6x+x^3-7x-6=0
[f(x)-x][f(x)^2+xf(x)+x^2-5]=0,所以有:
f(x)-x=0即为上面3个根-1,3,-2
f(x)^2+xf(x)+x^2-5=0-->
x^6-12x^4-12x^3+36x^2+72x+36+x^4-6x^2-6x+x^2-5=0
x^6-11x^4-12x^3+31x^2+66x+31=0
此方程有两个实根:X1=-1.72934224991135,X2=-0.795760004902966
因此B={-1,3,-2, x1,x2}
全部回答
- 1楼网友:罪歌
- 2021-02-18 23:53
1
若x=f(x),则有f(x)=f[f(x)];
因此:根据等式的传递性,有x=f[f(x)]。
由于x=f(x)是满足a的条件,x=f[f(x)]是满足b的条件,
故由于x=f(x)可以推导出x=f[f(x)],即由a的条件能够推导出满足b的条件,
即a成立则b一定成立,这就说明a是b的子集;
所以a含于b。
2
a={-1,3},也就是说,a中元素-1和3都满足x=x平方+ax+b;即 x平方+(a-1)x+b=0;
则有:
(-1)平方-(a-1)+b=0→ a-b=2……①
3平方+3(a-1)+b=0→ 3a+b=-6;……②
解由①②组成的方程组求得:
a=-1; b=-3;
即f(x)=x平方-x-3;
由第一问结论可知,
-1和3也一定满足b的条件;
现在求满足b的所有解:
x=f[f(x)]=f(x平方-x-3)=(x平方-x-3)^2 - (x平方-x-3) -3
→ 展开移项整理得:
x^4-2x^3-6x^2+6x+9=0;
合并:
(x^4-6x^2+9)-(2x^3-6x)=0;
因式分解:
(x^4-6x^2+9)-2x(x^2-3)=0;
(x^2-3)^2-2x(x^2-3)=0;
(x^2-3)(x^2-2x-3)=0;
(x^2-3)(x-3)(x+1)=0
则: x-3=0 或 x+1=0 或 x^2-3=0
解出:除x=-1,x=3外,还有
x=-√3 和 x=√3.
于是:
b={ -√3, -1, √3, 3}
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