数学二次函数难题

已知y是x的二次函数，且其图象在x轴上截得的线段AB长4个单位，当x=3时，y取得最小值-2。(1)求这个二次函数的解析式 (2)若此函数图象上有一点P，使ΔPAB的面积等于12个平方单位，求P点坐标

(1)∵当x=3时，y取得最小值-2

即抛物线顶点为(3，-2)

∴设二次函数解析式为y=a(x-3)²-2

又∵图象在x轴上截得线段AB的长是4

∴图象与x轴交于(1，0)和(5，0)两点

∴a(1-3)²-2=0

∴a=1/2

∴所求二次函数解析式为y=1/2x²-3x+5/2

(2)∵ΔPAB的面积为12个平方单位，|AB|=4

∴1/2×4×|Py|=12

∴|Py|=6

∴Pg=±6

又抛物线开口向上，函数值最小为-2

∴Py=-6应舍去

∴Pg=6

又点P在抛物线上

∴6=1/2x²-3x+5/2

∴x₁=-1，x₂=7

即点P的坐标为(-1，6)或(7，6)

(1) y=1/2x^2-3x+5/2

(2) (-1,6)(7,6)

（1）解答： 依题意设抛物线方程为y =a(x-3)²-2=ax²-6ax+9a-2，易得x₁+ x₂=6，x₁x₂=(9a-2)/a依据题意有，（x₁ - x₂）² =（x₁ + x₂）² - 4x₁x₂=8/a=16,易得a=1/2，所以抛物线方程为：y =1/2(x-3)²-2=1/2x²-3a+5/2