函数f(x)=（x2+a）/（x+1）其中(a∈R)

若f(x)在(1,f(1))处切线斜率为1/2，求实数a

若f（x）在x=1取得极值，求函数f（x）单调区间

2010-08-06 21:02
(1)
f(x)=(x²+a)/(x+1)
f'(x)=(x²+2x-a)/(x+1)²
f'(1)=(3-a)/4=1/2
a=1

(2)
f'(1)=(3-a)/4=0
a=3
f''(x)=10/(x+1)³
f''(1)=5/4>0
x∈(-∞,-1)∪(-1,1)减函数
x∈[1,+∞)增函数 

不会

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由题可知 m<n f(x)=(-1/2)x^2+x=-1/2(x-1)^2+1/2 （1）当m=<1=<n（ 二者不同时取等）则f（x）在x=1处取最大值为1/2 即kn=1/2 而k>1 所以n<1 与 n>=1矛盾 此种情况不可 （2）当m<n<1 时 根据其图像可知 f（x）在[m，n]上单调递增 所以 f(m)=(-1/2)m^2+m=km 且f(n) =(-1/2)n^2+n=kn 则m,n,k,所满足的条件 为m<n<1 (-1/2)m^2+m=km (-1/2)n^2+n=kn(因为mn可能为0，故不约） 其中k>1 （3）当1<m<n时 根据其图像可知f（x）在[m，n]上单调递减则f(m)=(-1/2)m^2+m=kn 且f(n) =(-1/2)n^2+n=km 而f(m)<f（x）max= 1/2 即kn<1/2而k>1 所以n<1 与n>1 矛盾 此种情况不可 综上所述 m,n,k,所满足的 为m<n<1 (-1/2)m^2+m=km (-1/2)n^2+n=kn 其中k>1

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