已知ab不等于0，求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0

若a+b=1，则（a＋b）^3-(a+b)^2=0,展开得

a3+b3+3a^2b＋3ab^b-2ab-a2-b2

=a3+b3+3ab(a+b)-2ab-a2-b2

=a3+b3+3ab-2ab-a2-b2

=a3+b3+ab-a2-b2

=0

若a3+b3+ab-a2-b2=0，则有

a3+b3+ab-a2-b2

=(a+b)^3-3a^2b-3ab^b+3ab-(a+b)^2

=(a+b)^2(a+b-1)-3ab(a+b-1)

=(a+b-1)((a+b)^2-3ab)

=(a+b-1)(a^2-ab+b^2)=0

有a+b-1=0或者a^2-ab+b^2＝0，a^2-ab+b^2大于等于ab，而ab不等于0，所以a^2-ab+b^2不等于0，因此

a+b-1=0

原命题得证。